Diagonalização de operadores e formas lineares: cônicas e quádricas
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Universidade Federal de São Carlos
UFSCar
Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT
Campus São Carlos
UFSCar
Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT
Campus São Carlos
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Abstract
Description
In this work we will make applications of Linear Algebra to conics and quadrics. We will discuss the rotation and translation of these particular curves and surfaces and understand why the rotation process relates to with matrix diagonalization. We will see that the quadratic form of a conic or a quadric is associated to a symmetric bilinear shape and therefore to a self-adjoint linear operator. Given this fact and through theorems of Linear Algebra, we will show that the vector spaces R2 and R3 admit an orthonormal basis consisting of characteristics vectors. That basis that will be used to create a new system of orthogonal axis under which the conical or quadric will no longer be rotated, that is, the matrix of the quadratic form will become diagonal and with that property the quadratic form will lose mixed terms. In addition, we will bring examples of conics and quadrics in their canonical forms and we will also show the
degenerate cases. We will still show some examples of conics and an example of quadric when they are rotated and translated in relation to the canonical cartesian system.
Não recebi financiamento
Neste trabalho vamos fazer aplicações de Álgebra Linear às cônicas e às quádricas. Iremos discutir sobre a rotação e a translação dessas particulares curvas e superfícies e entender porque o processo de rotação tem a ver com a diagonalização de matrizes. Veremos que a forma quadrática de uma cônica ou quádrica está associada a uma forma bilinear simétrica e, portanto, a um operador linear autoadjunto. Diante desse fato e através de teoremas de Álgebra Linear, mostraremos que os espaços vetoriais R2 e R3 admitem uma base ortonormal constituída de autovetores. Base essa que será utilizada para criar um novo sistema ortogonal de eixos, sob o qual, a cônica ou quádrica não estará mais rotacionada, ou seja, a matriz da forma quadrática se tornará diagonal e, com isso, a forma quadrática perderá o(s) termo(s) misto(s). Além disso, traremos exemplos de cônicas e quádricas em suas formas canônicas e, também, mostraremos os casos degenerados. Ainda mostraremos alguns exemplos de cônicas e um exemplo de quádrica quando estão rotacionadas e transladadas em relação ao sistema cartesiano canônico.
Não recebi financiamento
Neste trabalho vamos fazer aplicações de Álgebra Linear às cônicas e às quádricas. Iremos discutir sobre a rotação e a translação dessas particulares curvas e superfícies e entender porque o processo de rotação tem a ver com a diagonalização de matrizes. Veremos que a forma quadrática de uma cônica ou quádrica está associada a uma forma bilinear simétrica e, portanto, a um operador linear autoadjunto. Diante desse fato e através de teoremas de Álgebra Linear, mostraremos que os espaços vetoriais R2 e R3 admitem uma base ortonormal constituída de autovetores. Base essa que será utilizada para criar um novo sistema ortogonal de eixos, sob o qual, a cônica ou quádrica não estará mais rotacionada, ou seja, a matriz da forma quadrática se tornará diagonal e, com isso, a forma quadrática perderá o(s) termo(s) misto(s). Além disso, traremos exemplos de cônicas e quádricas em suas formas canônicas e, também, mostraremos os casos degenerados. Ainda mostraremos alguns exemplos de cônicas e um exemplo de quádrica quando estão rotacionadas e transladadas em relação ao sistema cartesiano canônico.
Keywords
Base otonormal , Cônica , Diagonalização , Forma bilinear simétrica , Operador autoadjunto , Quádrica , Orthonormal base , Conic , Diagonalization , Symmetric bilinear shape , Self-adjointoperator , Quadric , CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ALGEBRA , CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::MATEMATICA APLICADA
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